志第八 历二
大统历法一上 法原
造历者各有本原,史宜备录,使后世有以考。如太初之起数锺律,大衍之造端蓍策,皆详本志。授时历以测验算术为宗,惟求合天,不牵合律吕、卦爻。然其法之所以立,数之所从出,以及晷影、星度,皆有全书。郭守敬、齐履谦传中,有书名可考。元史漫无采摭,仅存李谦之议录、历经之初稿。其后改三应率及立成之数,与夫割圆弧矢之法,平立定三差之原,尽削不载。使作者精意湮没,识者憾焉。今据大统历通轨及历草诸书,稍为编次,首法原,次立成,次推步。而法原之目七:曰句股测望,曰弧矢割圆,曰黄赤道差,曰黄赤道内外度,曰白道交周,曰日月五星平立定三差,曰里差刻漏。
句股测望
北京立四丈表,冬至日午正,测得景长七丈九尺八寸五分。随以简仪测到太阳南至地平二十六度四十六分半,为半弧背。求得矢度,五度九十一分半。置周天半径,截矢余五十四度九十六分为股,乃本地去戴日下之度。以弦股别句术,求得句二十六度一十七分六十六秒,为日出地半弧弦。
北京立四丈表,夏至日午正,测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半,为半弧背。求得矢度,四十三度七十四分少。置周天半径,截矢余一十七度一十三分二十五秒为句,乃本地去戴日下之度。以句弦别股术,求得股五十八度四十五分半,为日出地半弧弦。
以二至日度相并,得一百度七十三分,折半得五十度三十六分半,为北京赤道出地度。以赤道出地度转减周天四之一,余四十度九十四分九十三秒七十五微,为北京北极出地度。
弧矢割圆
周天径一百二十一度七十五分少。少不用。 半径六十0度八十七分半。又为黄赤道大弦。 二至黄赤道内外半弧背二十四度。所测就整。 二至黄赤道弧矢四度八十四分八十二秒。 黄赤道大句二十三度八十分七十秒。 黄赤道大股五十六度0二分六十八秒。半径内减去矢度之数。
割圆求矢术 置半弧背度自之,为半弧背羃,周天径自之,为上廉。 上廉乘半弧背羃,为正实。 上廉乘径,为益从方。 半弧背倍之,乘径,为下廉。 以初商乘上廉,得数以减益从方,余为从方。 置初商自之以减下廉,余以初商乘之,为从廉。 从方、从廉相并,为下法。 下法乘初商,以减正实,实不足减,改初商。实有不尽,次第商除之。 倍初商数,与次商相并以乘上廉,得数以减益从方,余为从方。 并初商次商而自之,又以初商自之,并二数以减下廉,余以初商倍数并次商乘之,为从廉。 从方、从廉相并,为下法。 下法乘次商,以减余实,而定次商。有不尽者,如法商之,皆以商得数为矢度之数。黄赤道同用。
如以半弧背一度求矢度。 术曰:置半弧背一度自之,得一度,为半弧背羃。 置周天径一百二十一度太自之,得一万四千八百二十三度0六分二十五秒,为上廉。 上廉乘半弧背羃,得一万四千八百二十三度0六分二五,为正实。 上廉又乘径,得一百八十0万四千七百0七度八十五分九十三秒七五,为益从方。 半弧背一度倍之,得二度,以乘径得二百四十三度五十分,为下廉。 初商八十秒。 置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度0六二五,得一百一十八度五八四五,以减益从方一百八十0万四千七百0七度八五九三七五,余一百八十0万四千五百八十九度二七四八七五,为从方。 又置初商八十秒自之,得六十四微,以减下廉,余二百四十三度四九九九三六。仍以八十秒乘之,得一度九四七九九九四八八,为从廉。 以从廉、从方并之,共得一百八十0万四千五百九十一度二二二八七四四八八,为下法。 下法乘初商,得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九0四,以减正实,余实三百八十六度三十三分二七一七00四0九六。 次商二秒。置初商八十秒倍之,得一分六十秒。加次商二秒,得一分六十二秒,乘上廉一万四千八百二十三度0六二五,得二百四十0度一三三六一二五,以减益从方,余一百八十0万四千四百六十七度七二五七六二五,为从方。 又置初次商八十二秒自之,得六十七微。加初商八十秒自之之数,得一秒三十一微,以减下廉,余二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之,得三度九十四分四六九七八七七八,为从廉。 以从廉、从方并,得一百八十0万四千四百七十一度六十七分0四六0三七七八,为下法。 下法乘次商,得三百六十0度八九四三三四0九二0七五五六,以减余实,仍余二十五度四三八三八二九一二0二0四四。不足一秒弃不用,下同。
凡求得矢度八十二秒,余度各如上法,求到矢度,以为黄赤相求及其内外度之根。数详后。
黄赤道差
求黄道各度下赤道积度术。 置周天半径内减去黄道矢度,余为黄赤道小弦。 置黄赤道小弦,以黄赤道大股乘之大股见割圆为实。 黄赤道大弦半径为法。实如法而一,为黄赤道小股。 置黄道矢自乘为实,以周天全径为法,实如法而一,为黄道半背弦差。 以差去减黄道积度,即黄道半弧背。余为黄道半弧弦。 置黄道半弧弦自之为股羃,黄赤道小股自之为句羃,二羃并之,以开平方法除之,为赤道小弦。 置黄道半弧弦,以周天半径亦为赤道大弦乘之为实,以赤道小弦为法而一,为赤道半弧弦。 置黄赤道小股,亦为赤道横小句。以赤道大弦即半径乘之为实,以赤道小弦为法而一,为赤道横大句,以减半径,余为赤道横弧矢。横弧矢自之为实,以全径为法而一,为赤道半背弦差。 以差加赤道半弧弦,为赤道积度。
如黄道半弧背一度,求赤道积度。 术曰:置半径六十0度八十七分五十秒,即黄赤道大弦。内减黄道矢八十二秒余六十0度八六六八,为黄赤道小弦。 置黄赤道小弦,以黄赤道大股五十六度0二六八乘之,得三千四百一十0度一七二0三0二四为实,以黄赤道大弦六十0度八七五为法,实如法而一,得五十六度0一分九十二秒,为黄赤道小股。又为赤道小句。 置矢度八十二秒自之,得六十七微,以全径一百二十一度七五为法,除之得五十五纤,为黄道半背弦差。 置黄道半弧背一度,内减黄道半背弦差,余为半弧弦,因差在微以下不减,即用一度为半弧弦。 置黄道半弧弦一度自之,得一度为股羃。黄赤道小股五十六度0一九二自之,得三千一百三十八度一五0七六八六四为句羃。二羃并得三千一百三十九度一五0七六八六四为弦实,平方开之,得五十六度0二八一,为赤道小弦。 置黄道半弧弦一度,以半径即赤道大弦乘之,得六十0度八七五为实,以赤道小弦五十六度0二八一为法除之,得一度0八分六十五秒,为赤道半弧弦。 置黄赤道小股五十六度0一九二,又为赤道小句。以赤道大弦半径六十0度八七五乘之,得三千四百一十0度一六八八为实,以赤道小弦为法除之,得六十0度八十六分五十三秒,为赤道横大句。 置半径六十0度八十七分五十秒,内减赤道大句六十0度八十六分五十三秒,余九十七秒,为赤道横弧矢。 置赤道横弧矢九十七秒自之,得九十四微0九,以全径为法除之,得七十七纤,为赤道背弦差。 置赤道半弧弦一度0八分六十五秒,加赤道背弦差,为赤道积度,今差在微已下不加,即用半弧弦为积度。
凡求得赤道积度一度0八分六十五秒。余度各如上法,求到各黄道度下赤道积度,两数相减,即得黄赤道差,乃至后之率。其分后,以赤道度求黄道,反此求之,其数并同。
黄赤道相求弧矢诸率立成上
至后黄分后赤道积度 | 黄道矢度 | 黄道矢差 | 黄道半弧弦,又为赤道小股 | 黄赤道小股,又为赤道小句 | 赤道小弦 |
十度十分 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 |
初 | | | | | |
一 | 八二 | 0二四六 | 一0000 | 五六0一九二 | 五六0二八一 |
二 | 0三二八 | 0四一一 | 二0000 | 五五九九六六 | 0三二三 |
三 | 0七三九 | 0五七六 | 二九九九九 | 九五八八 | 0三九一 |
四 | 一三一五 | 0七四一 | 三九九九九 | 九0五八 | 0四八七 |
五 | 二0五六 | 0九0七 | 四九九九七 | 八三七六 | 0六一0 |
六 | 二九六三 | 一0七三 | 五九九九三 | 七五四一 | 0七五九 |
七 | 四0三六 | 一二四0 | 六九九八七 | 六五五三 | 0九三六 |
十度十分 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 |
八 | 五二七六 | 一四0八 | 七九九七七 | 五四一二 | 一一四0 |
九 | 六六八四 | 一五七六 | 八九九六三 | 四一一六 | 一三七一 |
一0 | 八二六0 | 一七四五 | 九九九四四 | 二六六六 | 一六三0 |
一 | 一000五 | 一九一六 | 一0九九一八 | 一0六0 | 一九一五 |
二 | 一九二一 | 二0八七 | 一一九八八三 | 五四九二九六 | 二二二六 |
三 | 四00八 | 二二五八 | 一二九八三九 | 七三七五 | 二五六五 |
四 | 六二六六 | 二四三0 | 一三九七八三 | 五二九七 | 二九二八 |
五 | 八六九六 | 二六0五 | 一四九七一三 | 三0六一 | 三三二0 |
六 | 二一三0一 | 二七七九 | 一五九六二八 | 0六六三 | 三七三五 |
七 | 四0八0 | 二九五五 | 一六九五二四 | 五三八一0六 | 四一七八 |
八 | 七0三五 | 三一三0 | 一七九四00 | 五三八九 | 四六四四 |
九 | 三0一六五 | 三三0七 | 一八九二五三 | 二五0五 | 五一三五 |
二0 | 三四七二 | 三四八五 | 一九九0八0 | 五二九四六二 | 五六五二 |
一 | 六九五七 | 三六六三 | 二0八八七八 | 六二五四 | 六一九二 |
二 | 四0六二0 | 三八四二 | 二一八六四五 | 二八八二 | 六七五六 |
三 | 四四六二 | 四0二0 | 二二八三七六 | 五一九二四七 | 七三四二 |
四 | 八四八二 | 四二00 | 二三八0七0 | 五六四七 | 七九五二 |
五 | 五二六八二 | 四三七九 | 二四七七二一 | 一七八一 | 八五八二 |
六 | 七0六一 | 四五五九 | 二五七三二六 | 五0七七五一 | 九二三四 |
七 | 六一六二0 | 四七三八 | 二六六八八一 | 三五五五 | 九九0六 |
八 | 六三五八 | 四九一七 | 二七六三八二 | 四九九二九九 | 五七0五九九 |
九 | 七一二七五 | 五0九五 | 二八五八二八 | 四六六九 | 一三一0 |
三0 | 六三七0 | 五二七三 | 二九五二一0 | 四八九九八0 | 二0三九 |
十度十分 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 |
三一 | 八一六四三 | 五四五0 | 三0四五三五 | 五一二七 | 二七八六 |
二 | 七0九三 | 五六二六 | 三一三七六0 | 0一一一 | 三五四九 |
三 | 九二七一九 | 五八0一 | 三二二九三九 | 四七四五三三 | 四三二六 |
四 | 八五二0 | 五九七四 | 三三二0二八 | 四六九五九四 | 五一一八 |
五 | 一0四四九四 | 六一四五 | 三四一0三二 | 四0九六 | 五九二三 |
六 | 一一0六三九 | 六三一四 | 九九四六 | 四五八四四0 | 六七四0 |
七 | 六九五三 | 六四八一 | 三五八七六六 | 二六二九 | 七五六九 |
八 | 一二三四三四 | 六六四七 | 三六七四八六 | 四四六六六四 | 八四0七 |
九 | 一三00八一 | 六八0八 | 三七六一0二 | 0五四七 | 九二五二 |
四0 | 六八八九 | 六九六七 | 三八四六0九 | 四三四二八二 | 五八0一0七 |
一 | 一四三八五六 | 七一二四 | 三九三00三 | 四二七八六九 | 0九六七 |
二 | 一五0九八0 | 七二七六 | 四0一二六七 | 一三一二 | 一八三一 |
三 | 八二五六 | 七四二六 | 九四二九 | 四一四六一六 | 二六九九 |
四 | 一六五六八二 | 七五七一 | 四一七四五四 | 四0七七八二 | 三五六九 |
五 | 一七三二五三 | 七七一二 | 四二五三四六 | 0八二二 | 四四四0 |
六 | 一八0九六五 | 七八五0 | 四三三一0二 | 三九三七一五 | 五三一一 |
七 | 一八八八一五 | 七九八四 | 四四0七一八 | 三八六四九0 | 六一八0 |
八 | 一九六七九九 | 八一一二 | 八一八九 | 三七九一四三 | 七0四五 |
九 | 二0四九一一 | 八二三七 | 四五五五一三 | 三七一六七六 | 七九0七 |
五0 | 二一三一四八 | 八三五七 | 四六二六八四 | 三六四0九五 | 八七六三 |
一 | 二二一五0五 | 八四七二 | 九七0一 | 三五六四0四 | 九六一二 |
二 | 九九七七 | 八五八三 | 四七六五五九 | 三四八六0七 | 五九0四五三 |
三 | 二三八五六0 | 八六八八 | 四八三二五六 | 0七0七 | 一二八五 |
十度十分 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 |
五四 | 二四七二四八 | 八七八九 | 九七八九 | 三三二七一一 | 二一0六 |
五 | 二五六0三七 | 八八八五 | 四九六一五六 | 三二四六二二 | 二九一七 |
六 | 二六四九二二 | 八九七七 | 五0二三五四 | 三一六四四五 | 三七一四 |
七 | 二七三八九九 | 九0六三 | 八三八二 | 三0八一八三 | 四四九九 |
八 | 八二九六二 | 九一四四 | 五一四二三六 | 二九九八四一 | 五二六七 |
九 | 二九二一0六 | 九二二二 | 九九一七 | 一四二六 | 六0二二 |
六0 | 三0一三二八 | 九二九四 | 五二五四二二 | 二八二九三八 | 六七六0 |
一 | 三一0六二二 | 九三六一 | 五三0七五一 | 二七四三八四 | 七四八一 |
二 | 九九八三 | 九四二六 | 五九0二 | 二六五七六九 | 八一八四 |
三 | 三二九四0九 | 九四八五 | 五四0八七五 | 二五七0九四 | 八八六八 |
四 | 三三八八九四 | 九五三八 | 五六六八 | 二四八三六四 | 九五三二 |
五 | 三四八四三二 | 九五九0 | 五五0二八四 | 二三九五八六 | 六00一七八 |
六 | 三五八0二二 | 九六三八 | 四七一九 | 0七五九 | 0八0二 |
七 | 三六七六六0 | 九六八一 | 八九七四 | 二二一八八九 | 一四0四 |
八 | 三七七三四一 | 九七一九 | 五六三0五0 | 二一二九七九 | 一九八四 |
九 | 三八七0六0 | 九七五六 | 六九四八 | 二0四0三四 | 二五四四 |
七0 | 三九六八一六 | 九七八九 | 五七0六六七 | 一九五0五五 | 三0八一 |
一 | 四0六六0五 | 九八一八 | 四二0七 | 一八六0四六 | 三五九五 |
二 | 四一六四二三 | 九八四五 | 七五七0 | 一七七0二0 | 四0八六 |
三 | 四二六二六八 | 九八六八 | 五八0七五六 | 一六七九四九 | 四五五三 |
四 | 四三六一三六 | 九八九一 | 三七六六 | 一五八八七六 | 四九九七 |
五 | 四四六0二七 | 九九一0 | 六六00 | 一四九七六三 | 五四一六 |
六 | 四五五九三七 | 九九二五 | 九二五八 | 0六四三 | 五八一0 |
十度十分 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 |
七七 | 四六五八六二 | 九九四0 | 五九一七四四 | 一三一五0八 | 六一八一 |
八 | 四七五八0二 | 九九五二 | 四0五六 | 一二二三五九 | 六五二六 |
九 | 四八五七五四 | 九九六二 | 六一九六 | 一一三二00 | 六八四七 |
八0 | 四九五七一六 | 九九七二 | 八一六五 | 一0四0三二 | 七一四四 |
一 | 五0五六八八 | 九九七九 | 九九六三 | 0九四八五四 | 七四一五 |
二 | 五一五六六七 | 九九八四 | 六0一五九二 | 0八五六七0 | 七六六一 |
三 | 五二五六五一 | 九九八九 | 三0五二 | 0七六四八一 | 七八八二 |
四 | 五三五六四0 | 九九九三 | 四三四五 | 0六七二八七 | 八0七九 |
五 | 五四五六三三 | 九九九六 | 五四七0 | 0五八0九0 | 八二五0 |
六 | 五五五六二九 | 九九九七 | 六四一八 | 0四八八九0 | 六0八三九五 |
七 | 五六五六二六 | 九九九九 | 七二二二 | 0三九六一九 | 八五一八 |
八 | 五七五六二五 | 一0000 | 七八四九 | 0三0四八七 | 八六一三 |
九 | 五八五六二五 | 0000 | 八三一一 | 0二一二八三 | 八六八三 |
九0 | 五九五六二五 | 0000 | 八六0九 | 0一二0七九 | 八七二九 |
一 | 六0五六二五 | 0三一二五 | 八七四二 | 00二八七六 | 八七四九 |
一三一 | 八七五0 | 0000 | 八七五0 | 0000 | 八七五0 |
黄赤相求弧矢诸率立成下
至后黄分后赤道积度 | 赤道半弧弦 | 赤道矢度 | 至后赤分后黄道积度 | 度率 | 黄赤道差 |
十度十分 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 |
初 | | | | 一0八六五 | |
一 | 一0八六五 | 九七 | 一0八六五 | 0八六一 | 0八六五 |
二 | 二一七二八 | 0三八八 | 二一七二八 | 0八六0 | 一七二八 |
十度十分 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 |
三 | 三二五八七 | 0八七五 | 三二五八八 | 0八五七 | 二五八八 |
四 | 四三四四三 | 一五五三 | 四三四四五 | 0八四九 | 三四四五 |
五 | 五四二九0 | 二四二五 | 五四二九四 | 0八四三 | 四二九四 |
六 | 六五一二七 | 三四九四 | 六五一三七 | 0八三三 | 五一三七 |
七 | 七五九五二 | 四七五七 | 七五九七0 | 0八二三 | 五九七0 |
八 | 八六七六二 | 六二一四 | 八六七九三 | 0八一二 | 六七九三 |
九 | 九七五五五 | 七八一四 | 九七六0五 | 0八0一 | 七六0五 |
一0 | 一0八三二九 | 九七一六 | 一0八四0六 | 0七八六 | 八四0六 |
一 | 一一九0六九 | 一一七六0 | 一一九一一二 | 0七七二 | 九一九二 |
二 | 一二九八0三 | 四000 | 一二九九六四 | 0七五五 | 九九六四 |
三 | 一四0四九八 | 六四三五 | 一四0七一九 | 0七四0 | 一0七一九 |
四 | 一五一一六一 | 九0六七 | 一五一四五九 | 0七二0 | 一四五九 |
五 | 一六一七九六 | 二一八九三 | 一六二一七九 | 0七0四 | 二一七九 |
六 | 一七二三七四 | 四九一五 | 一七二八八三 | 0六八四 | 二八八三 |
七 | 一八二九一七 | 八一三二 | 一八三五六七 | 0六六三 | 三五六七 |
八 | 一九三四一三 | 三一五四四 | 一九四二三0 | 0六四二 | 四二三0 |
九 | 二0三八五八 | 五一五0 | 二0四八七二 | 0六二二 | 四八七二 |
二0 | 二一四二四八 | 八九四八 | 二一五四九四 | 0五九九 | 五四九一 |
一 | 二二四五七八 | 四二九四八 | 二二六0九三 | 0五七五 | 六0九三 |
二 | 二三四八四五 | 七一二四 | 二三六六六八 | 0五五四 | 六六六八 |
三 | 二四五0四四 | 五一四九八 | 二四七二二二 | 0五三0 | 七二二二 |
四 | 二五五一七一 | 六0六一 | 二五七七五二 | 0五0六 | 七七五二 |
五 | 二六五二二一 | 六0八一四 | 二六八二五八 | 0四八二 | 八二五八 |
十度十分 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 |
二六 | 二七五一八九 | 五七五一 | 二七八七四0 | 0四五六 | 八七四0 |
七 | 二八五0七一 | 七0八七四 | 二八九一九六 | 一0四三二 | 一九一九六 |
八 | 二九四八六二 | 六一七八 | 二九九六二八 | 0四0八 | 九六二八 |
九 | 三0四五五九 | 八一六六四 | 三一00三六 | 0三八二 | 二00三六 |
三0 | 三一四一五五 | 七三二六 | 三二0四一八 | 0三五五 | 0四一八 |
一 | 三二三六四五 | 九三二六三 | 三三七七七三 | 0三三二 | 0七七三 |
二 | 三三三0二七 | 九一七三 | 三四一一0五 | 0三0六 | 一一0五 |
三 | 三四二二九五 | 一0五三五一 | 三五一四一一 | 0二八0 | 一四一一 |
四 | 三五一四四四 | 一一一六九五 | 三六一六九六 | 0二五四 | 一六九一 |
五 | 三六0四七0 | 八二0二 | 三七一九四五 | 0二二九 | 一九四五 |
六 | 九三六八 | 一二四八六六 | 三八二一七四 | 0二0三 | 二一七四 |
七 | 三七八一三四 | 一三一六八六 | 三九二三七七 | 0一七七 | 二三七七 |
八 | 三八六七六四 | 八六五四 | 四0二五五四 | 0一五二 | 二五五四 |
九 | 三九五二五四 | 一四五七七0 | 四一二七0六 | 0一二六 | 二七0六 |
四0 | 四0三五九九 | 一五三0二七 | 四二二八三二 | 0一0二 | 二八三二 |
一 | 四一一七九七 | 一六0四二0 | 四三二九三0 | 00七五 | 二九三0 |
二 | 九八四二 | 七九四六 | 四四三00九 | 00四九 | 三00九 |
三 | 四二七七三三 | 一七五五九八 | 四五三0五八 | 00二七 | 三0五八 |
四 | 四三五四六七 | 一八三三七三 | 四六三0八五 | 0一0000 | 三0八五 |
五 | 四四三0五八 | 一九一二六五 | 四七三0八五 | 九九七四 | 三0八五 |
六 | 四五0四四五 | 九二六五 | 四八三0五九 | 九九五一 | 三0五九 |
七 | 七六八七 | 二0七三七九 | 四九三0一0 | 九九二五 | 三0一0 |
八 | 四六四七六0 | 二一五五九0 | 五0二九三五 | 九九0一 | 二九三五 |
十度十分 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 |
四九 | 四七一六六二 | 二二三八九七 | 五一二八三六 | 九八九六 | 二八三六 |
五0 | 八三九一 | 二三二二九五 | 五二二七一二 | 九八五一 | 二七一二 |
一 | 四八四九四六 | 二四0七七八 | 五三二五六三 | 九八二七 | 二五六三 |
二 | 四九一三二六 | 九三四一 | 五四二三九0 | 九八0三 | 二三九0 |
三 | 七五三0 | 二五七九八0 | 五五二一九三 | 九七八0 | 二一九三 |
四 | 五0三五五六 | 二六六六八七 | 五六一九七三 | 九七五五 | 一九七三 |
五 | 九四0五 | 二七五四六0 | 五七一七二八 | 九七三一 | 一七二八 |
六 | 五一五0七六 | 二八四二九一 | 五八一四五九 | 九七0八 | 一四五九 |
七 | 五二0五六八 | 二九三一八0 | 五九一一六七 | 九六八五 | 一一六七 |
八 | 五八八三 | 三0二一一八 | 六00八五二 | 九六六一 | 0八五二 |
九 | 五三一0一九 | 三一一一0二 | 六一0五一三 | 九六三九 | 0五一三 |
六0 | 五九七八 | 三二0一二八 | 六二0一五二 | 九六一六 | 0一五二 |
一 | 五四0七六一 | 九一九一 | 九七六八 | 九五九四 | 一九七六八 |
二 | 五三六八 | 三三八二八七 | 六三九三六二 | 九五七二 | 九三六二 |
三 | 九八00 | 三四七四一四 | 六四八九三四 | 九五五一 | 八九三四 |
四 | 五五四0五七 | 三五六五六八 | 六五八四八五 | 九五二九 | 八四八五 |
五 | 八一四三 | 三六五七四二 | 六六八0一四 | 九五0九 | 八0一四 |
六 | 五六二0五七 | 三七四九三九 | 六七七五二三 | 九四八七 | 一七五二三 |
七 | 五八0一 | 三八四一五一 | 六八七0一0 | 九四七0 | 七0一0 |
八 | 九三七九 | 三九三三七八 | 六九六四八0 | 九四五0 | 六四八0 |
九 | 五七二七九0 | 四0二六一五 | 七0五九三0 | 九四二七 | 五九三0 |
七0 | 六0三一 | 四一一八六二 | 七一五三五七 | 九四一二 | 五三五七 |
一 | 九一一一 | 四二一一一六 | 七二四七六九 | 九三九二 | 四七六九 |
十度十分 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 |
七二 | 五八二0二九 | 四三0三七四 | 七三四一六一 | 九三八五 | 四一六一 |
三 | 四七八七 | 九六三六 | 七四三五四六 | 九三五三 | 三五四六 |
四 | 七三八七 | 四四八八九九 | 七五二八九九 | 九三四三 | 二八九九 |
五 | 九八三0 | 四五八一六三 | 七六二二四二 | 九三二九 | 二二四二 |
六 | 五九二一一七 | 四六七四二五 | 七七一五七一 | 九三一五 | 一五七一 |
七 | 四二五一 | 四七六六八五 | 七八0八八六 | 九三0四 | 0八八六 |
八 | 六二三四 | 四八五九四四 | 七九0一九0 | 九二八六 | 0一九0 |
九 | 八0六五 | 四九五一九五 | 九四七六 | 九二七五 | 0九四七六 |
八0 | 九七四七 | 五0四四四三 | 八0八七五一 | 九二六五 | 八七五一 |
一 | 六0一二八一 | 五一三六八八 | 八一八0一六 | 九二五五 | 八0一六 |
二 | 二六七四 | 五二二九二七 | 八二七二七一 | 九二四四 | 七二七一 |
三 | 三九一三 | 五三二一五九 | 八三六五一五 | 九二三八 | 六五一五 |
四 | 五0一二 | 五四一三八九 | 八四五七五三 | 九二二八 | 五七五三 |
五 | 五九六七 | 五五0六一三 | 八五四九八一 | 九二二二 | 四九八一 |
六 | 六七八一 | 九八三二 | 八六四二0三 | 九二一五 | 四二0三 |
七 | 七四五三 | 五六九0四六 | 八七三四一八 | 九二一二 | 三四一八 |
八 | 七九八五 | 五七八二五七 | 八八二六三0 | 九二一0 | 二六三0 |
九 | 八三七一 | 五八七四六五 | 八九一八四0 | 九二0四 | 一八四0 |
九0 | 八六三0 | 五九六六七一 | 九0一0四四 | 九二0四 | 一0四四 |
一 | 八七四三 | 六0五六七四 | 九一0二四八 | 二八七七 | 0二四八 |
一三一 | 八七五0 | 八七五0 | 三一二五 | 0000 | 0000 |
按郭守敬创法五端,内一曰黄道差,此其根率也。旧法以一百一度相减乘。授时立术,以句股、弧矢、方圆、斜直所容,求其数差,合于浑象之理,视古为密。顾至元历经所载畧,又误以黄道矢度为积差,黄道矢差为率,今正之。
割圆弧矢图(图阙)
凡浑圆中剖,则成平圆。任割平圆之一分,成弧矢形,皆有弧背,有弧弦,有矢。剖弧矢形而半之,则有半弧背,有半弧弦,有矢。因弦矢生句股形,以半弧弦为句,矢减半径之余为股,半径为弦。句股内成小句股,则有小句、小股、小弦,而大小可互求,平侧可互用,浑圆之理,斯为密近。
侧立之圆(图阙)
平者为赤道,斜者为黄道。因二至黄赤之距,生大句股。因各度黄赤之距,生小句股。
平视之圆(图阙)
外大圆为赤道。从北极平视,则黄道在赤道内,有赤道各度,即各有其半弧弦,以生大句股。又各有其相当之黄道半弧弦,以生小句股。此二者皆可互求。
按旧史无图,然表亦图之属也。今句股割圆弧矢之法,实为历家测算之本。非图不明,因存其要者数端。
黄赤道内外度
推黄道各度,距赤道内外及去极远近术。 置半径内减去赤道小弦,余为赤道二弦差。又为黄赤道小弧矢,又为内外矢,又为股弦差。 置半径内减去黄道矢度,余为黄赤道小弦。以二至黄赤道内外半弧弦乘之为实,以黄赤道大弦为法,即半径。除之为黄赤道小弧弦。即黄赤道内外半弧弦,又为黄赤道小句。 置黄赤道小弧矢自之,即赤道二弦差。以全径除之,为半背弦差。以差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背,即黄赤道内外度。 置黄赤道内外度,视在盈初缩末限以加,在缩初盈末限以减,皆加减象限度,即各得太阳去北极度分。
如冬至后四十四度,求太阳去赤道内外及去极度。 术曰:置半径六十0度八十七分半,内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒,余二度五十一分八十一秒,为黄赤道小弧矢。即内外矢。 置半径六十0度八七五,内减黄道四十四度,矢一十六度五十六分八十二秒,余四十四度三十0分六十八秒,为黄赤道小弦。 置黄赤道小弦,以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之,得一千0五十0度五十一分四二三八为实,以黄赤道大弦六十0度八七五为法除之,得一十七度二十五分六十九秒为黄赤道小弧弦。即内外半弧弦。 置黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之为实,以全径一百二十一度七十五分除之,得五分二十一秒为背弦差,以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒,得一十七度三十0分八十九秒,为二至前后四十四度,太阳去赤道内外度。 置象限九十一度三十一分四十三秒七五,以内外度一十七度三0八九加之,得一百0八度六十二分三十二秒七五,为冬至后四十四度太阳去北极度。
黄道每度去赤道内外及去北极立成
黄道积度 | 黄赤内外矢,又为赤道二弦差 | 内外半弧弦,又为黄赤小弧弦 | 内外度,又为黄赤道小弧半背 | 冬至前后去极度 | 夏至前后去极度 |
十度分 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 |
初 | 0四八四八二 | 二三七一00 | 二三九0三0 | 一一五二一七三 | 六七四一一三 |
一 | 八四六九 | 七0七八 | 八九九七 | 二一四0 | 四一四六 |
二 | 八四二七 | 六九七二 | 八八九八 | 二0四一 | 四二四五 |
三 | 八三五九 | 六八一二 | 八七三二 | 一八七五 | 四四一一 |
四 | 八二六三 | 六五八八 | 八五四一 | 一六四四 | 四六四二 |
五 | 八一四0 | 六二九九 | 八二0二 | 一三四五 | 四九四一 |
六 | 七九九一 | 五九四六 | 七八三八 | 0九八0 | 五三0六 |
七 | 七八一四 | 五五二八 | 七四0五 | 0五四八 | 五七三八 |
八 | 七六一0 | 五0四五 | 六九0七 | 00五0 | 六二三六 |
九 | 七四九九 | 四四九六 | 六三四二 | 一一四九四八五 | 六八0一 |
一0 | 七一二0 | 三八八三 | 五七0六 | 八八四九 | 七四三七 |
一 | 六八三五 | 三二0三 | 五00四 | 八一四七 | 八一三九 |
二 | 六五二四 | 二四五七 | 四二三五 | 七三七八 | 八九0八 |
三 | 六一八七 | 一六四四 | 三三九六 | 六五三九 | 九七四七 |
四 | 五八二二 | 0七六四 | 二四八八 | 五六三一 | 六八0六五五 |
五 | 五四三0 | 二二九八一八 | 一五一三 | 四六五六 | 一六三0 |
十度分 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 |
一六 | 五0一五 | 八八0二 | 0四六六 | 三六0九 | 二六七七 |
七 | 四五七二 | 七七二一 | 二二九三五二 | 二四九五 | 三七九一 |
八 | 四二0六 | 六五七0 | 八一六七 | 一三一0 | 四九七六 |
九 | 三六一五 | 五三五一 | 六九一三 | 00五六 | 六二三0 |
二0 | 三0九八 | 四0六三 | 五五八八 | 一一三八七三一 | 七五五五 |
一 | 二五五八 | 二七0六 | 四一九三 | 七三三六 | 八九五0 |
二 | 一九九四 | 一二七九 | 二七二七 | 五八七0 | 六九0四一六 |
三 | 一四0八 | 二一九七八二 | 一一九0 | 四三三三 | 一九五三 |
四 | 0七九八 | 八二一七 | 二一九五八四 | 二七二七 | 三五五九 |
五 | 0一六八 | 六五八一 | 七九0六 | 一0四九 | 五二三七 |
六 | 三九五一六 | 四八七五 | 六一五九 | 一一二九三0二 | 六九八四 |
七 | 八八四四 | 三一00 | 四三三九 | 七四八二 | 八八0四 |
八 | 八一五一 | 一二五四 | 二四四九 | 五五九二 | 七00六九四 |
九 | 七四四0 | 二0九三三九 | 0四八九 | 三六三二 | 二六五四 |
三0 | 六七一一 | 七三五五 | 二0八四六二 | 一六0五 | 四六八一 |
一 | 五九六四 | 五三0一 | 六三六三 | 一一一九五0六 | 六九八0 |
二 | 五二0一 | 二二七八 | 四一九五 | 七三三八 | 八九四八 |
三 | 四四二四 | 0九八七 | 一九六0 | 五一0三 | 七一一一八三 |
四 | 三六三二 | 一九八七二八 | 一九九六五七 | 二八00 | 三四八六 |
五 | 二八二七 | 六四0一 | 七二八六 | 0四二九 | 五八五七 |
六 | 二0一0 | 四00八 | 四八四九 | 一一0七九九二 | 八二九四 |
七 | 三一一八一 | 一九一五四八 | 一九二三四六 | 一一0五四八九 | 七二0七九七 |
八 | 0三四三 | 一八九0二四 | 一八九七八0 | 二九二三 | 三三六三 |
十度分 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 |
三九 | 二九四九七 | 六四三五 | 七一四九 | 0二九二 | 五九九四 |
四0 | 八六四三 | 三七八三 | 四四五六 | 一0九七五九九 | 八六八七 |
一 | 七七八三 | 一0七0 | 一七0四 | 四八四七 | 七三一四三九 |
二 | 六九一九 | 一七八二九五 | 一七八八九0 | 三0三三 | 四二五三 |
三 | 六0五一 | 五四六一 | 六0一八 | 一0八九一六一 | 七一二五 |
四 | 五一八一 | 二五六九 | 三0八九 | 六二三二 | 七四00五四 |
五 | 四三一0 | 一六九六二0 | 0一0五 | 三二四八 | 三0三八 |
六 | 三四三九 | 六六一六 | 一六七0六七 | 0二一0 | 六0七六 |
七 | 二五七0 | 三五五九 | 三九七七 | 一0七七一二0 | 九一六六 |
八 | 一七0五 | 0四四九 | 0八三六 | 三九九九 | 七五二三0七 |
九 | 0八四三 | 一五七二八九 | 一五七六四五 | 0七八八 | 五四九八 |
五0 | 一九九八七 | 四0八一 | 四四0九 | 一0六七五五二 | 八七三四 |
一 | 九一三八 | 0八二三 | 一一二四 | 四二六七 | 七六二0一九 |
二 | 八二九七 | 一四七五二三 | 一四七七九八 | 0九四一 | 五三四五 |
三 | 七四六五 | 四一八四 | 四四三四 | 一0五七五七七 | 八七0九 |
四 | 六六四四 | 0八00 | 一0二七 | 四一七0 | 七七二一一六 |
五 | 五八三三 | 一三七三七七 | 一三七五八二 | 0七二五 | 五五六一 |
六 | 五0三六 | 三九一六 | 四一0一 | 一0四七二四四 | 九0四二 |
七 | 四二五一 | 0四二0 | 0五八六 | 三七二九 | 七八二五五七 |
八 | 三四八三 | 一二六八九0 | 一二七0三九 | 0一八二 | 六一0四 |
九 | 二七二八 | 三三二八 | 三四六一 | 一0三六六0四 | 九六八二 |
六0 | 一九九0 | 一一九七三六 | 一一九八五四 | 二九九七 | 七九三二八九 |
一 | 一二六九 | 六一一七 | 六二二一 | 一0二九三六四 | 六九二二 |
十度分 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 |
六二 | 0五六六 | 二四七一 | 二五六二 | 五七0五 | 八00五八一 |
三 | 0九八八二 | 一0八七九九 | 一0八八七九 | 二0二二 | 四二六四 |
四 | 九二一八 | 五一0五 | 五一七四 | 一0一八三一七 | 七九六九 |
五 | 八五七二 | 一三九0 | 一四五0 | 四五九三 | 八一一六九三 |
六 | 七九四八 | 0九七六五五 | 0九七七0六 | 0八四九 | 五四三七 |
七 | 七三四六 | 三九0一 | 三九四五 | 一00七0八八 | 九一九八 |
八 | 六七六六 | 0一三二 | 0一六九 | 三三一二 | 八二二九七四 |
九 | 六二0六 | 0八六三四七 | 0八六三七八 | 0九九九五二一 | 六七六五 |
七0 | 五六六九 | 二五四五 | 二五七一 | 五七一四 | 八三0五七二 |
一 | 五一五五 | 0七八七三三 | 0七八七五四 | 一八九七 | 四三八九 |
二 | 四六六四 | 四九0九 | 四九二六 | 0九八八0六九 | 八二一七 |
三 | 四一九七 | 一0四七 | 一0八八 | 四二三一 | 八四二0五五 |
四 | 三七五三 | 0六七二三0 | 0六七二四一 | 0三八四 | 五九0二 |
五 | 三三三四 | 三三七八 | 三三八七 | 0九七六五三0 | 九七五六 |
六 | 0二九四0 | 0五九五一八 | 0五九五二五 | 0九七二六六八 | 八五三六一八 |
七 | 二五六九 | 五六五三 | 五六五八 | 0九六八八0一 | 七四八五 |
八 | 二二二四 | 一七八一 | 一七八五 | 四九二八 | 八六一三五八 |
九 | 一九0三 | 0四七九0五 | 0四七九0八 | 一0五一 | 五二三五 |
八0 | 一六0六 | 四0二五 | 四0二七 | 0九五七一七0 | 九一一六 |
一 | 一三三五 | 0一四一 | 0一四二 | 三二八五 | 八七三00一 |
二 | 一0八九 | 0三六二五四 | 0三六二五四 | 0九四九三九七 | 六八八九 |
三 | 0八六八 | 二三六五 | 二三六五 | 五五0八 | 八八0七七八 |
四 | 0六七一 | 0二八四七五 | 0二八四七五 | 一六一八 | 四六六八 |
十度分 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 | 十度十分十秒 |
八五 | 0五00 | 四五八三 | 四五八三 | 0九三七七二六 | 八五六0 |
六 | 0三五五 | 0六九0 | 0六九0 | 三八三三 | 八九二四五三 |
七 | 0二三二 | 0一六七九六 | 0一六七九六 | 0九二九九三九 | 六三四七 |
八 | 0一三七 | 二九0二 | 二九0二 | 六0四五 | 九00二四一 |
九 | 00六七 | 00九00七 | 00九00七 | 二一五0 | 四一三六 |
九0 | 00二一 | 五一一二 | 五一一二 | 0九一八二五五 | 八0三一 |
一 | 000一 | 一二一七 | 一二一七 | 四三六0 | 九一一九二六 |
一三一 | 0000 | 0000 | 0000 | 三一四三 | 三一四三 |
白道交周
推白赤道正交,距黄赤道正交极数。 术曰:置实测白道出入黄道内外六度为半弧弦,又为大圆弧矢,又为股弦差。置半径六十0度八七五自之,得三千七百0五度七六五六二五,以矢六度而一,得六百一十七度六十三分为股弦和,加矢六度,共六百二十三度六十三分为大圆径。依法求得容阔五度七十分,又为小句。 又以二至出入半弧弦二十三度七十一分为大句。 以大句为法,除大股五十六度0六分五十秒,得二度三十七分就整为度差。以度差乘小句,得小股一十三度四十七分八十二秒,为容半长。置半径六十0度八七五为大弦,以乘小句五度七十分为实,以大句二十三度七十一分为法除之,得一十四度六十三分为小弦,又为白赤道正交,距黄赤道正交半弧弦。依法求得半弧背一十四度六十六分,为白赤道正交距黄赤道正交极数。
月道距差圆(图阙)